Hasonlóság · Ráadás
Vezesd le az aranymetszés arányát, és különítsd el a matematikát az esztétikai állításoktól.
Egy szakasz nagyobb része legyen b, kisebb része a, mindkettő pozitív. Az aranymetszés feltétele =. Az egész úgy aránylik a nagyobb részhez, ahogyan a nagyobb a kisebbhez. A kisebb/nagyobb hányados ennek reciproka. Az irány megnevezése nélkül a 0,618 és 1,618 összekeverhető.
Legyen φ=. Ekkor az egész/nagyobb arány 1+, így φ=1+. Rendezve φ²−φ−1=0. A pozitív megoldás φ=≈1,618. A másik gyök negatív, ezért hosszarányként kizárt. A nagyobb rész/egész arány ≈0,618, a kisebb rész/egész ≈0,382.
Aranymetszés előfordul a szabályos ötszög átlóinak és oldalainak arányában. Tervezésnél lehet tudatos kompozíciós szempont, de az arány matematikai tulajdonsága nem bizonyít egyetemes esztétikai felsőbbrendűséget. Egy fényképen észlelt közelítő arány nem elegendő pontos matematikai állításhoz. A mérést és a feltételezést külön jelöld.
1. példa
Aranymetszés szerint osztunk egy 20 cm-es szakaszt. Közelítő részek?
2. példa
A kisebb rész 1 egység.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
Ha φ²=φ+1 és φ>0, a φ²−φ kifejezés értéke?
Az azonosság alapján 1.
Az aranymetszés nagyobb/egész aránya kisebb 1-nél. Igaz vagy hamis?
A rész kisebb az egésznél.
φ²−φ−1=0 két valós gyökéből hány lehet pozitív hosszarány?
A pozitív, a másik negatív.
A matematika bizonyítja, hogy minden aranymetszésű kép szép. Igaz vagy hamis?
A szépség nem következik a hosszarányból.
Az aranymetszés φ=. Mennyi φ²−φ?
φ az x²−x−1=0 pozitív gyöke, ezért φ²−φ=1.
Igaz vagy hamis: az aranymetszés aránya pontosan 1,6.
φ≈1,618034; az 1,6 közelítés, nem pontos érték.
Egy szakasz nagyobb része A, kisebb része B; =. Ha =φ, akkor =φ−c. Mennyi c?
φ²=φ+1, ezért =φ−1; c=1.
Aranymetszésnél =φ. Igaz vagy hamis: =φ².
=φ+1=φ².
A Fibonacci-sorozat 1;1;2;3;5;8;13 után melyik szám következik?
8+13=21; minden új tag az előző kettő összege.
Igaz vagy hamis: két egymást követő Fibonacci-szám hányadosa minden esetben pontosan φ.
A hányadosok φ-hez közelítenek, de racionális számok, míg φ irracionális.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.