Matematika · II. kötet

Egybevágóság és kör · 41. lecke

Háromszögek egybevágóságának alapesetei

Döntsd el pontos adatok alapján, mikor vihető két háromszög fedésbe.

Értsd meg!

Egybevágóság és megfeleltetés

Két alakzat egybevágó, ha távolságtartó geometriai transzformációval egymásba vihetők. A tükrözés, eltolás és forgatás nem változtatja meg a hosszakat és szögeket. Az ABC ≅ DEF jelölés sorrendje megfeleltetést is mond: A-hoz D, B-hez E, C-hez F tartozik. Így AB a DE oldalnak felel meg. A rajz helyzete és körüljárása önmagában nem döntő; egy tükörkép is lehet egybevágó az eredetivel.

Két egybevágó derékszögű háromszög

Mindkét háromszög befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. A három megfelelő oldal egyenlő, ezért egybevágók. Az ábrán azonos a méretük; a helyzetük nem része az egybevágóság feltételének.
Mindkét háromszög befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. A három megfelelő oldal egyenlő, ezért egybevágók. Az ábrán azonos a méretük; a helyzetük nem része az egybevágóság feltételének.

A négy alapeset

Az egybevágóságot biztosítja három megfelelő oldal egyenlősége; két megfelelő oldal és közbezárt szögük egyenlősége; egy megfelelő oldal és a rajta fekvő két szög egyenlősége; illetve két megfelelő oldal és a nagyobbikkal szembeni szög egyenlősége. Az utolsó esetben fontos, melyik oldalhoz tartozik a megadott szög. Derékszögű háromszögekben az átfogó és egy befogó egyenlősége ezért elegendő.

Bizonyítás felépítése

Ne azt írd, hogy a háromszögek egyformának látszanak. Sorold fel a megfelelő egyenlőségeket, nevezd meg az alkalmazott alapesetet, majd vond le a kívánt következtetést. Közös oldalnál a szakasz önmagával egyenlő. Párhuzamos egyeneseknél váltó- vagy egyállású szögek adhatják a szükséges szögegyenlőséget. Három szög egyenlősége csupán hasonlóságot biztosít: eltérő méretű háromszögek is teljesíthetik.

A szögegyenlőség önmagában nem egybevágóság

A két háromszög megfelelő szögei egyenlők, de a jobb oldali minden oldala kétszer hosszabb. A két háromszög hasonló, de nem egybevágó. Ez ellenpélda arra, hogy három szög ismerete rögzítené a méretet.
A két háromszög megfelelő szögei egyenlők, de a jobb oldali minden oldala kétszer hosszabb. A két háromszög hasonló, de nem egybevágó. Ez ellenpélda arra, hogy három szög ismerete rögzítené a méretet.

Amit érdemes megjegyezni

  • Oldal–oldal–oldal; oldal–szög–oldal; szög–oldal–szög; két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög.
  • A megfelelő csúcsok sorrendjét végig tartsd meg.

Kidolgozott példák

1. példa

Két merev tartó

Az egyik háromszög oldalai 6, 8, 10 cm, a másikéi 10, 6, 8 cm. Egybevágók-e?

  1. A hosszakat megfelelően párosítjuk: 6↔6, 8↔8, 10↔10.
  2. Mindhárom megfelelő oldal egyenlő, ezért az oldal–oldal–oldal alapeset alkalmazható.
  3. A két tartó egybevágó, elhelyezkedésüktől függetlenül.

2. példa

Deltoid szimmetriája

Az ABCD konvex deltoidban AB=AD, CB=CD. Igazold, hogy ∠ABC=∠ADC!

  1. Az ABC és ADC háromszögben AB=AD, BC=DC és AC közös.
  2. A két háromszög három oldala páronként egyenlő, tehát egybevágók.
  3. A B és D megfelelő csúcsok szögei egyenlők.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

Két háromszög minden megfelelő szöge egyenlő. Biztosan egybevágók? Írd: igaz vagy hamis!

Megoldás és magyarázat

Különböző méretű szabályos háromszögek ellenpéldák.

2. feladat

Két háromszögben két oldal és közbezárt szögük egyenlő. Biztosan egybevágók?

Megoldás és magyarázat

Ez az oldal–szög–oldal alapeset.

3. feladat

ABC ≅ DEF. Ha BC=9 cm, hány cm EF?

Megoldás és magyarázat

B↔E és C↔F, ezért EF=BC=9 cm.

4. feladat

Két háromszögben a megfelelő szögek 48° és 67°. Hány fok a harmadik szög?

Megoldás és magyarázat

180−48−67=65°. Ez önmagában még nem rögzíti a méretet.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Igaz vagy hamis: két háromszög három megfelelő oldalának egyenlősége elegendő az egybevágósághoz.

Megoldás és magyarázat

Az OOO alapeset az egybevágóságot biztosítja.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Igaz vagy hamis: két háromszög megfelelő szögeinek egyenlősége egybevágóságot biztosít.

Megoldás és magyarázat

Ez hasonlóságot ad, de különböző méretű háromszögeknek is azonosak a szögeik.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Egy háromszög oldalai 2, 5, 6 cm. Egy vele egybevágó háromszög kerülete hány cm?

Megoldás és magyarázat

A megfelelő oldalak egyenlők; a kerület 2+5+6=13 cm.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Igaz vagy hamis: két oldal és a közbezárt szög egyenlősége biztosítja az egybevágóságot.

Megoldás és magyarázat

Az OSZO alapesetben a megadott szög a két megadott oldal között van.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Egy háromszög két szöge 32° és 68°. Hány fok a harmadik?

Megoldás és magyarázat

180−(32+68)=80°.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: két oldal és egy tetszőleges szög is mindig elegendő az egybevágósághoz.

Megoldás és magyarázat

Nem közbezárt szög esetén két különböző háromszög is adódhat. További feltétel szükséges.

Visszajelzés erről a leckéről

Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.

Értékelés, 1–5

Név és e-mail-cím megadása nem szükséges. Más tanulók értékelései és megjegyzései nem jelennek meg ezen az oldalon.